冲刺广义相对论

冲刺广义相对论

1915年是爱因斯坦的多事之秋，政治纷争频仍，个人事务搅扰不断，但这些恰恰突出了爱因斯坦巨大的专注能力。在各种干扰之下，他仍然能够致力于科学，将各种工作安排得有条不紊。在此期间，他怀着极大的焦虑，向着后来他所谓的一生中最大的成就奋勇冲刺。[1]

当爱因斯坦1914年春搬到柏林时，同事们以为他会组建一个研究所，招募助手来研究物理学中最迫切的问题——量子理论的涵义。但他好似一匹孤独的狼，他并不希望身边有一批合作者或学生，就像普朗克那样，而是希望聚精会神地研究他关心的东西——推广相对论。[2]

所以在妻儿离开他前往苏黎世之后，爱因斯坦搬出了旧楼，在柏林市中心租了一间离爱尔莎更近的房子。屋里没有什么家具，是单身汉的庇护所，不过相当宽敞：它有七间屋子，位于一幢五层新楼的第三层。[3]

爱因斯坦的书房里有一张木制的大写字台，上面凌乱地堆放着一叠叠论文和期刊。在这样一个僻静的住所，他可以随处走动，饿了就吃，困了就睡，有了兴致就开始工作。他正在孤独地做着努力。

整个1915年的春天和夏天，爱因斯坦都在冥思苦想他的《纲要》理论，试图对它进行改进和反驳各种挑战。这时，他开始称其为“广义理论”，而不仅仅是关于相对性的“一种推广的理论”，但这并不能掩盖他一直试图避开的问题。

他称他的方程拥有空穴论证以及其他物理学限制所允许的最大协变性，但他开始怀疑这样说并不正确。他还与意大利数学家莱维-契维塔进行了一场令人精疲力竭的争论，莱维-契维塔通过张量运算指出了一些问题。另一个问题是，该理论给出的水星轨道运动结果并不正确。

不过，爱因斯坦的《纲要》理论仍然成功地（至少他在1915年夏天是这么认为的）把旋转解释为一种相对运动，即一种只能相对于其他物体的位置和运动来定义的运动。他认为，他的场方程在变换到旋转坐标时能够保持不变。[4]

爱因斯坦对自己的理论充满信心，以至于从1915年6月底开始，他在最著名的数学物理学中心——哥廷根大学举行了一系列为时一周的讲座，每次两小时。那里有多位天才人物，希尔伯特就是其中最著名的一位。爱因斯坦特别希望——后来表明是希望过度了——向他解释相对论的所有困难之处。

对哥廷根的访问硕果累累。爱因斯坦兴奋地对仓格尔说，他已经“完全说服了那里的数学家们，这真是快事一桩。”关于同样身为和平主义者的希尔伯特，爱因斯坦说：“我见到了他，对他非常欣赏。”几周以后，爱因斯坦又说，“我能够说服希尔伯特相信广义相对论”，并称他“具有惊人的能量和独立性。”在给另一位物理学家的信中，爱因斯坦更加热情洋溢：“我极其欣喜地看到，在哥廷根，每一个细枝末节都得到了彻底的理解。我对希尔伯特感到狂喜不已！”[5]

希尔伯特也同样被爱因斯坦和他的理论深深吸引，以至于没过多久，他决定看看自己是否能够先行得到正确的场方程。在三个月的哥廷根讲演期间，爱因斯坦有两项令人沮丧的发现：他的《纲要》理论的确有缺陷；希尔伯特本人正在热情高涨地试图自行得出正确的公式。

爱因斯坦之所以认识到他的《纲要》理论正在分崩离析，乃是源于一系列问题的不断积聚，不过以1915年10月初的两次打击为最。

首先，爱因斯坦在重新检查的时候发现，《纲要》方程并不像他曾经认为的那样能够真正解释旋转。[6]他希望证明，旋转只不过是另一种形式的相对运动，但事实表明，《纲要》并不能证明这一点。《纲要》方程并非像他所认为的那样，能够在匀速转动坐标轴的变换下保持协变。

在1913年的一份备忘录中，贝索曾经警告过他这可能是一个问题，但爱因斯坦没有理会。现在，在重新做了计算之后，他沮丧地看到，这根柱子坍塌了。“这是一个明显的矛盾，”他向天文学家弗伦德里希悲叹道。

他认为正是因为同样的错误，他的理论才无法完全解释水星轨道的运动。他对自己是否能够发现问题感到绝望。“我不相信我自己能够把错误找出来，因为在这方面我的思想已经过于陈旧。”[7]

不仅如此，爱因斯坦还意识到，他在所谓的“唯一性”论证上犯了一个错误，即根据能量动量守恒以及其他物理限制所要求的一套条件能够唯一地导出《纲要》中的场方程。他写信给洛伦兹，详细解释了他以前的“错误断言”。[8]

除此之外还有他已经知道的那些问题：《纲要》方程不是广义协变的，这就意味着它并不能使一切形式的加速运动和非匀速运动真正成为相对的，而且它也没有完全解释水星的反常轨道。如今大厦将倾，他似乎可以听见希尔伯特正从哥廷根向他步步进逼。

爱因斯坦的部分天才在于他的坚韧不拔。甚至在面对“显然的矛盾”（比如他1905年的相对论论文）时，他都能够固守自己的想法。他对自己关于物理世界的直觉感受深信不疑。他的工作方式比大多数科学家更孤独，无论别人多么怀疑，他总是信守自己的本能。

然而尽管如此，他也并非顽固不化。当他最终认定《纲要》理论站不住脚时，便断然将它抛弃。这正是他1915年10月所做的事情。

为了取代注定要失败的《纲要》理论，爱因斯坦开始把目光由物理方案（强调他对于物理学基本原理的感受）转向更多地依靠数学方案（运用黎曼和里奇张量）。他曾经在苏黎世笔记本中使用过这种方法，后来抛弃了它，但此时发现由它可以产生广义协变的引力场方程。诺顿写道，“爱因斯坦的逆转分开了水面，引领他由奴役走入了广义相对论的应许之地。”[9]

当然，和往常一样，他仍然两种方案并用。为了采用重新焕发生机的数学方案，他不得不修改作为《纲要》理论基础的物理学假定。“这恰恰是爱因斯坦在苏黎世笔记本和《纲要》理论中没有实现的那种物理思考与数学思考的融合，”扬森和雷恩写道。[10]

于是他转向了曾经在苏黎世使用过的张量分析，更强调找到广义协变方程这一数学目标。“对之前理论的信任完全消失之后，”他对一位朋友说，“我清楚地看到，只有通过广义协变理论，也就是与黎曼协变量结合，才可能找到令人满意的解答。”[11]

结果，爱因斯坦开始了四个星期不知疲倦的疯狂工作。在此期间，他摆弄着一大堆张量和方程，不断进行修正和翻新。一连四个周四，他在普鲁士科学院做了四次演讲。1915年11月底工作达到了高潮，牛顿的宇宙成功得以修正。

每一周，50多位普鲁士科学院院士都会聚集在柏林市中心的普鲁士国家图书馆大礼堂，听取同行们的成果和见解。爱因斯坦的四次讲演几周前就安排好了，但直到讲演开始（甚至在开始之后），他还在紧张地忙于修正理论。

第一次讲演是在1915年11月4日。他开门见山地说，“在过去四年里，我试图基于非匀速运动的相对性假设建立一门广义相对论。”在谈到被抛弃的《纲要》理论时，他说他相信自己已经发现了符合物理实在的唯一的引力定律。

但是接着，他坦陈了这一理论碰到的所有问题。“由于这个原因，我对场方程完全失去了信心”，他已经为此努力过两年多。现在，他已经转到了他和格罗斯曼1912年使用的方案。“于是我回到了场方程更加广义的协变性的要求。当我与朋友格罗斯曼合作时，我曾经心情沉重地放弃了它。事实上，我们那时已经与答案相当接近。”[12]

爱因斯坦回到了格罗斯曼1912年向他介绍的黎曼张量和里奇张量。“任何真正理解它的人都很难抗拒这种理论的魅力，”他说，“它标志着由高斯、黎曼、克里斯托菲、里奇和莱维-契维塔等人创立的演算方法的真正胜利。”

这一方法使他与正确结果更近了，但他11月4日的方程仍然不是广义协变的。要达到这一步还需要三个星期。

此时，爱因斯坦正处于历史上罕见的科学创造力集中爆发的阵痛中。他说自己正在“极为紧张”地工作。[13]在此期间，他不仅要经受这种折磨，还要处理家庭内部的危机。妻子和贝索写来的信强调了他需要承担的经济义务，讨论了与两个儿子接触的方式。

就在他递交第一篇论文的11月4日，他给正在瑞士的汉斯·阿尔伯特写了一封痛苦而动人的信：

我将尽量每年抽出一个月的时间陪你，这样你就可以同亲近你爱你的爸爸在一起了。你可以从我这里学到许多别人不可能教给你的知识。我通过艰苦努力获得的这些知识不仅对陌生人有很大价值，对我的儿子也是如此。在过去几天里，我完成了有生以来最出色的论文之一。你大一些的时候，我会把它讲给你听。

在信的结尾，他对自己有时表现出的心不在焉略致歉意。“我常常专注于工作，以致忘记了吃午饭，”他说。[14]

爱因斯坦在忙于修改方程的同时，还与他昔日的朋友兼竞争者希尔伯特进行了一场尴尬的角力。此时希尔伯特正在寻找广义相对论方程，与他竞争。有人告诉爱因斯坦，这位哥廷根数学家已经发现了《纲要》方程的错误。由于担心被抢先，爱因斯坦给希尔伯特写了一封信，说他四周之前就已经发现了这些错误，并寄去了11月4日讲演的副本。“我很想知道，您是否喜欢这种新的解决办法，”爱因斯坦带着防御的口气问道。[15]

希尔伯特虽然在数学方面比爱因斯坦更好，但却不是同样好的物理学家。他并没有像爱因斯坦那样最终确保任何新理论在静态弱场情况下都能符合牛顿的旧理论，或者服从因果律。希尔伯特没有采用数学－物理双重方案，而主要采用了力图找到协变方程的数学方案。“希尔伯特喜欢开玩笑说，物理学太复杂了，不能只留给物理学家去研究，”奥弗比说。[16]

接下来的那个星期四，即11月11日，爱因斯坦提交了第二篇论文。他在其中使用了里奇张量，指定了新的坐标条件，使得方程具有广义协变性。事实表明，问题并没有得到根本解决。爱因斯坦距离最终答案虽然只有一步之遥，却始终迈不过去。[17]

他再次把论文寄给了希尔伯特。“倘若我目前的修改（并没有改变方程）是合理的，那么在物质构成方面，引力必定起着基础性的作用，”爱因斯坦说，“好奇心使我的工作更加困难了！”[18]

希尔伯特第二天的回信必定使爱因斯坦坐立不安。他说他正准备就“您提出的大问题给出一种公理化的解决方案”。希尔伯特打算暂不讨论，直到对这项物理研究做出实质性的推进。“但是既然您如此有兴趣，我愿意在下星期二（本月16日）把我的理论详详细细阐述一遍。”

他邀请爱因斯坦到哥廷根，亲自听他给出答案。会面将在下午6点开始，希尔伯特特意告知了从柏林到哥廷根的两列火车的到达时间。“如果您能和我们在一起，我的妻子和我将会非常高兴。”

信写完之后，希尔伯特又加上了一段挑逗式的附言。“根据我对你这篇新论文的理解，你所给出的解答与我的完全不同。”

11月15日，星期一，爱因斯坦一连写了四封信，也许我们可以从中感到他为何会胃痛。在给儿子汉斯·阿尔伯特的信中他说，他打算在圣诞节和新年前后去瑞士看他。“也许我们两个人单独到某个地方更好些，”比如一个隐蔽的小酒馆，他向儿子建议，“你觉得如何？”

他还给妻子写了一封安抚的信，感谢她不打算“破坏我与孩子们的关系。”他又给他们共同的朋友仓格尔写信说：“我已经修改了引力理论，意识到我以前的证明有一处脱漏……我很高兴在年底去瑞士看看我可爱的儿子。”[19]

最后，他给希尔伯特写了回信，谢绝了第二天访问哥廷根的邀请。信件没有掩饰他的焦虑：“我对您的分析非常感兴趣……您在明信片上的暗示，让人满怀期待。但眼下我没法去哥廷根……我疲惫极了，而且还受到胃痛的折磨……如有可能，请寄给我一本您论文的校样，以便缓解我的不耐。”[20]

幸运的是，那一周爱因斯坦的焦虑因为一个惊喜的发现而有所缓解。虽然他知道他的方程不是最终形式，但他还是决定看看由这种新方案是否能够产生正确的水星轨道运动结果。由于他和贝索此前已经做过计算（得到了一个令人失望的结果），所以用修正后的理论重新计算并未用去他太多时间。

事实上，他在11月的第三次讲演中宣布的解答是正确的：每世纪43弧秒。[21]“我相信，这一发现是迄今为止爱因斯坦科学生活乃至整个一生中最强烈的情感体验，”派斯后来说。他激动万分，仿佛“心都要跳出来了”。“我简直高兴得要死，”他对埃伦菲斯特说。他还对另一位物理学家欢呼说：“我对水星近日点运动的结论是极其满意的。在这方面，天文学学究式的精确性对我们的帮助多么大啊，以前我还经常偷偷取笑这种精确性呢！”[22]

在同一场讲演中，他还报告了他的另一次计算。当他八年前第一次开始表述广义相对论时，他曾说，一个结论是引力会使光线弯曲。他曾经计算出，太阳附近的引力场将使光线大约偏折0.83弧秒，这与把光视作粒子的牛顿理论的预言相符。但是现在，利用修正后的新理论，考虑到时空弯曲所产生的效应，爱因斯坦计算出的光线弯曲是它的两倍。因此，他现在预言太阳引力将使光线大约偏折1.7弧秒。这一预言必须等到三年多之后再次发生合适的日食才能被检验。

11月18日一早，爱因斯坦收到了希尔伯特的新论文，即那篇他受邀到哥廷根听取的论文。爱因斯坦惊奇（且有些沮丧）地看到，它竟然与他本人的工作非常相似。他给希尔伯特回了一封冷冷的信，言辞简洁，显然旨在肯定他本人工作的优先性：

在我看来，您所确定的系统与我前几个星期所发现并已提交给科学院的完全一致。其中困难并不在于找到广义协变的方程，因为借助于黎曼张量，这是很容易做到的……三年前，我就已经和我的朋友格罗斯曼一起思考了唯一可能的广义协变方程，即现在看来是正确的那些方程。我们之所以不太情愿地放弃了这个思路，是因为在我看来，物理讨论的结果与牛顿定律不一致。我今天提交给科学院一篇论文，其中我从广义相对论出发，不借助任何假说，便定量地导出了水星的近日点运动。迄今为止，任何引力理论都未曾达到这一点。[23]

第二天，希尔伯特友好地回了信，慷慨大度地称自己并没有优先权。“衷心祝贺您拿下了近日点运动，”他写道，“如果我能像您那样算得那么快，那么在我的公式中，电子就不得不束手就擒，氢原子也会给我写一张歉条，说明为什么它不发出辐射。”[24]

但是到了第二天，即11月20日，希尔伯特寄给哥廷根的一家科学杂志一篇论文，宣布了他本人给出的广义相对论方程。他为这篇论文选的标题并不谦虚，称之为《物理学的基础》。

当爱因斯坦正忙于准备他在普鲁士科学院达到顶峰的第四次讲演时，我们不知道他把希尔伯特寄给他的论文读了多少遍，也不知道其中哪些内容影响了他的思考。无论如何，他一周前就水星和光的偏折所做的计算使他认识到，他能够避免曾经强加给引力场方程的限制和坐标条件。于是在1915年11月25日，他为最后一次讲演“引力的场方程”及时提出了一套协变方程，使其广义相对论达到了巅峰。

在外行看来，这个结果并不像E=mc2那样生动。但是利用简洁的张量符号，各种纷繁复杂的东西可以被并入下标，最终核心的爱因斯坦场方程非常紧凑，令人赞叹。就像我们经常看到的那样，它印在自豪的物理系学生穿的T恤衫上。作为其中一个变种，[25]它可以写成：

Rμν－½gμνR =－8πGTμν

方程左边的起始项便是里奇张量Rμν，gμν是非常重要的度规张量，R则是里奇张量的迹，即所谓的里奇标量。总之，方程左边——现在被称为爱因斯坦张量，可以简单地写成Gμν——将有关时空几何如何被有质量物体或其他能量源弯曲的所有信息都集合在了一起。

方程右边描述的是物质在引力场中的运动。两边共同表明了物体如何使时空弯曲，以及这种弯曲又如何反过来影响物体的运动。正如物理学家惠勒所说：“物质告诉时空如何弯曲，弯曲的空间告诉物质如何运动。”[26]

一场宇宙之舞就这样上演了，正如物理学家格林所说：

空间与时间成了不断演化的宇宙中的表演者。它们充满了生气：这里的物质使那里的空间发生弯曲，那里的空间又使这里的物质运动起来，后者又使那里的空间进一步地弯曲……广义相对论为空间、时间、物质和能量的宇宙之舞提供了舞蹈设计。[27]

终于，爱因斯坦得到了真正协变的方程，因此这种理论（至少令他满意地）包含了所有运动形式，无论是惯性运动、加速运动、旋转运动还是任意运动。在当年3月的《物理学纪事》中，他在给出理论的正式表述时宣称：“自然的一般定律是由那些对一切坐标系都有效的方程来表示的，也就是说，它们对于无论哪种变换都是协变的。”[28]

爱因斯坦对自己的成功激动不已，同时也担心，已于五天前在哥廷根提交了论文的希尔伯特，会被认为对这项理论有所贡献。“只有一位同行真正理解它，”他写信给朋友仓格尔说，“他正试图以巧妙的方式‘侵占’（亚伯拉罕的用语）它。”“侵占”（nostrifizieren）一词曾经被哥廷根的数学物理学家马克斯•亚伯拉罕使用过，指的是一种承认学位的活动，即德国大学将其他大学授予的学位变成他们自己的学位。“在我的人生经历中，几乎从来没有如此让我体会到人之可悲。”在几天以后给贝索的信中，他又说：“在这件事情上，我的同行们表现得很可恶。如果我讲给你听，你肯定会乐坏了。”[29]

那么，最终的数学方程应当主要归功于谁呢？关于爱因斯坦和希尔伯特的优先权问题，史学家们已经在小范围里进行了激烈争论，其驱动力有时似乎超出了纯科学的范围。在11月16日的谈话，以及一篇日期为11月20日的论文中，希尔伯特提出了他的方程，这些都早于爱因斯坦11月25日提出最终的方程。但是1997年，一些爱因斯坦学者发现了希尔伯特文章的一些校样，它们显示希尔伯特做了一些改动，之后于12月16日寄回了出版社。虽然在最初的版本中，希尔伯特的方程与爱因斯坦在11月25日讲演的最终版本相差不多，但却有一个关键的区别。它们不是真正广义协变的，而且希尔伯特没有把里奇张量收缩，并把结果得到的“迹”即里奇标量放入方程。而爱因斯坦在11月25日的讲演中却这样做了。显然，希尔伯特在文章的修定版中做了改正，以符合爱因斯坦的版本。在谈到引力势时，他非常有雅量地加上了“首先由爱因斯坦引入”这一短语。

希尔伯特的支持者（以及爱因斯坦的恶意批评者）以各种论证作为回应，比如有一部分校样丢失了，“迹”这一项或者无关紧要，或者是显然的等等。

平心而论，两人在1915年11月都导出了（在某种程度上是独立地，但也都知道对方在做什么）正式的广义相对论数学方程。根据希尔伯特对自己校样的修改来看，似乎是爱因斯坦首先发表了这些方程的最终版本。而且甚至连希尔伯特本人最后都把荣誉和优先权归于爱因斯坦。

无论如何，正是爱因斯坦的理论成了正统。在那年夏天，他在哥廷根见到希尔伯特时就向他解释过这种理论。甚至连主张把正确的场方程归于希尔伯特的物理学家索恩都说，方程背后的理论应当归功于爱因斯坦。“希尔伯特几乎与爱因斯坦同时独立地发现了最后几个数学步骤，但这些步骤之前的几乎任何东西都要归功于爱因斯坦，”索恩说，“没有爱因斯坦，广义相对论的引力定律也许要再上数十年才能被发现。”[30]

心胸宽广的希尔伯特也是这样认为的。他在论文最终的发表版本中明确指出：“在我看来，结果得出的引力微分方程与爱因斯坦建立的宏伟的广义相对论相一致。”此后他总是承认（从而使那些用他来贬低爱因斯坦的人失望），爱因斯坦是相对论唯一的创造者。[31]“关于四维几何，哥廷根大街上的每一个孩子都比爱因斯坦知道更多，”据说他曾这样说，“然而尽管如此，做出这项工作的是爱因斯坦，而不是数学家们。”[32]

事实上，爱因斯坦与希尔伯特不久就重归于好。在他们就场方程发生冲撞几周以后，希尔伯特11月写信说，在他的支持下，爱因斯坦当选为哥廷根科学院院士。在表达谢意之后，爱因斯坦说，“我感到不得不对你说一些别的事情。”他解释说：

你我之间曾经出现过某种敌意，其原因我并不想加以分析。我同与此相联的痛苦情绪进行了一番搏斗，并且取得了完全的成功。我又一次完全以亲切友好之情想起了您，希望您也能这样对我。如果两个多多少少从这个破败的世界中解脱出来的真正伙伴没有彼此给对方带来快乐，那真是一种羞耻。[33]

他们继续定期通信交流思想，并且计划为天文学家弗伦德里希安排工作。到了2月，爱因斯坦甚至再次访问了哥廷根，住在希尔伯特家。

身为作者，爱因斯坦的自豪之情完全可以理解。他一拿到四次讲演的副本，就把它们寄给了朋友们。“一定要好好看看，”他对一位朋友说，“这些是我一生中最有价值的发现。”他又对另一位朋友说，“这一理论拥有无与伦比的美。”[34]

36岁的爱因斯坦已经对我们的宇宙概念做出了历史上最具想象力和戏剧性的修正。广义相对论不仅是对某些实验数据的解释，或者是对一套更精确定律的发现，而是一种看待实在的全新方式。

在牛顿留给爱因斯坦的宇宙中，时间有一种绝对的存在性，它独立于物体和观察者而均匀流逝，空间也有类似的绝对存在性。引力被认为是物体相当神秘地穿过空虚的空间彼此施加的一种力。在这一框架中，物体服从力学定律。从行星轨道、气体扩散、分子抖动到声波（虽然不是光波）传播，它们在解释万物方面被证明是精人地准确，堪称完美。

通过狭义相对论，爱因斯坦表明，空间和时间并不具有绝对的存在性，而是构成了一种时空结构。而通过广义相对论，这种时空结构不仅成了物体和事件的一种容器，而且它也有自己的动力学，既被其中物体的运动所确定，也可以反过来确定它——就像当弹子球和保龄球滚过时，蹦床的结构会发生弯曲一样，反过来，这种蹦床结构的弯曲又会确定滚过的球的路径，使弹子球朝着保龄球运动。

这种弯曲的时空结构解释了引力，它与加速的等效，以及关于一切形式的运动的广义相对论。[35]在量子力学的先驱——诺贝尔奖获得者保罗•狄拉克看来，它“也许是迄今为止最伟大的科学发现”。20世纪物理学的另一位巨人玻恩则称它为“人对自然思考的最伟大成就，哲学洞察、物理直觉和数学技巧最令人惊叹的结合。”[36]

整个过程使爱因斯坦精疲力竭，但也使他兴奋异常。虽然他的婚姻已经破裂，战争正在蹂躏着欧洲，但他仍然感到幸福。“我最大胆的梦想已成为现实，”他高兴地对贝索说，“广义协变性。水星的近日点运动极为精确。”他说自己“心满意足，但累得要死。”[37]

[1]我这里又一次引用了雷恩、绍尔、斯塔契尔、扬森和诺顿等人的著作。

[2]HorstKant, “Albert Einstein and the Kaiser Wilhelm Institute forPhysics in Berlin,”Renn 2005d, 168-170.

[3]Wolf-Dieter Mechler, “Einstein’s Residencesin Berlin,”Renn 2005d, 268.

[4]Janssen 2004, 29.

[5]Einstein to Heinrich Zangger, July 7, andca. July 24, 1915; Einstein to Arnold Sommerfeld, July 15, 1915.

[6]具体而言，这个问题是，《纲要》场方程在非自主地变换到标准对角线形式的闵可夫斯基度规的旋转坐标时是否保持不变。

[7]Michele Besso memo to Einstein, Aug. 28,1913, Janssen 2002; Norton 2000, 149; Einstein to Erwin Freundlich, Sept. 30,1915.

[8]Einstein to Hendrik Lorentz, Oct. 12, 1915.在以下给洛伦兹和索默菲的信中，爱因斯坦描述了他在1915年10月的突破。Einstein toHendrik Lorentz, Jan. 1, 1916：“去年秋天，我逐渐认识到，以前提出的引力场方程是不正确的，这使我经历了一段满腹懊恼的时光。过去我早就发现，得出的水星近日点运动结果太小。加之我又发现，对于新坐标系的均匀旋转变换来说，这些方程并不具有协变性。最后我发现，我去年为了确定引力场的哈密顿函数H而进行的研究工作完全是白干了，因为很容易将其修改为完全自由地选择H，而根本不必对它施加任何限制性条件。于是我确信，引入合适系统是误入歧途了，必须要求一种范围更广的协变性，最好称之为广义协变性。现在广义协变性是实现了，以后指定坐标系时什么改变也不会发生。现在这些方程本质上就是我在三年前同格罗斯曼——是他使我注意到黎曼张量——一起考虑过的方程。”Einstein toArnold Sommerfeld, Nov. 28, 1915：“最近这一个月，是我的生命中最令我激动和紧张的时期之一，当然也是成果最丰硕的时期之一。因为我认识到，我迄今为止的引力场方程统统都是站不住脚的！这么说有下列几条根据：1）我证明，一个匀速旋转系统的引力场并不满足场方程；2）水星近日点移动是每世纪18″而不是45″；3）我去年论文中思考的协变性并没有给出哈密顿函数H。如果得到恰当地推广，它容许任意的H。由此证明，相对于“合适”坐标系的协变性是个失败。”

[9]Norton 2000, 152.

[10]关于他声称的1915年10月到11月由物理方案转向数学方案，研究广义相对论的史学家们有微妙的观点分歧。诺顿主张，爱因斯坦“新的策略是倒转他1913年的决定”，回到一种数学方案，强调产生广义协变的张量分析（Norton 2000, 151）。类似地，杰伦•范•东恩说，策略的转移是清清楚楚的。“爱因斯坦立即发现了走出《纲要》困境的道路：他回到了曾经在苏黎世笔记本中放弃的广义协变的数学要求。”（Van Dongen, 25）。两位学者都引用了爱因斯坦后来说过的话，即声称他所吸取的一大教训就是要相信数学方案。而雷恩和扬森则认为，诺顿和东恩（以及记忆有些模糊的老年爱因斯坦）过于强调这一转移了。在1915年发现最终理论的过程中，物理考虑仍然发挥着关键作用。“然而，在我们的重构中，爱因斯坦通过对《纲要》理论（这一理论几乎完全是基于物理考虑）做出重大调整而发现了回到广义协变场方程的道路……数学考虑指向了同一方向，这无疑加强了这是正确方向的信念，但引导他沿着这条道路走下去的是物理考虑而不是数学考虑。”（Janssen and Renn, 13；我在文中引用的段落出自p.10）此外，Janssen 2004, 35：“无论他后来怎么想、怎么说和怎么写，爱因斯坦只有在不平坦的物理学之路的尽头找到这些方程之后，才发现了通往爱因斯坦场方程的数学道路。”

[11]Einstein to Arnold Sommerfeld, Nov. 28, 1915.

[12]Einstein, “On the General Theory ofRelativity,” Nov. 4, 1915, CPAE 6:21.

[13]Einstein to Michele Besso, Nov. 17, 1915;Einstein to ArnoldSommerfeld, Nov. 28, 1915.

[14]Einstein to Hans Albert Einstein, Nov. 4,1915.

[15]Einstein to David Hilbert, Nov. 7, 1915.

[16]Overbye, 290.

[17]Einstein, “On the General Theory ofRelativity (Addendum),” Nov. 11, 1915, CPAE 6:22; Renn and Sauer 2006, 276;Pais 1982, 252.

[18]Einstein to David Hilbert, Nov. 12, 1915.

[19]Einstein to Hans Albert Einstein, Nov. 15,1915; Einstein to Mileva Marić, Nov. 15, 1915; Einstein to Heinrich Zangger,Nov. 15, 1915.（2006年公诸于世，刊印于第10卷补遗）

[20]Einstein to David Hilbert, Nov. 15, 1915.

[21]Einstein, “Explanation of the PerihelionMotion of Mercury from the General Theory of Relativity,” Nov. 18, 1915, CPAE6:24.

[22]Pais1982, 253; Einstein to Paul Ehrenfest, Jan. 17,1916; Einstein to ArnoldSommerfeld, Dec. 9, 1915.

[23]Einstein to David Hilbert, Nov. 18, 1915.

[24]David Hilbert to Einstein, Nov. 19, 1915.

[25]这个方程可以以多种方式来表达。我这里用到的是爱因斯坦在1921年普林斯顿讲演中使用的表述。方程的整个左边可以用现在所谓的爱因斯坦张量Gμν来更简洁地表示。

[26]Overbye, 293; Aczel, 117;archive.ncsa.uiuc.edu/Cyberia/NumRel/EinsteinEquations.html#intro.惠勒引语的另一个版本参见他与迈斯纳（Charles Misner）、索恩（Kip Thorne）合著的《引力》（Gravitation）的第5页。

[27]Greene 2004, 74.

[28]Einstein, “The Foundations of the GeneralTheory of Relativity,”Annalen der Physik,Mar. 20, 1916, CPAE 6:30.

[29]Einstein to Heinrich Zangger, Nov. 26,1915; Einstein to Michele Besso, Nov. 30, 1915.

[30]Thorne, 119.

[31]关于对希尔伯特贡献的分析，参见Sauer 1999,529-575; Sauer 2005, 577–590.讨论希尔伯特的修正的论文包括Corry, Renn and Stachel；Sauer 2005等.关于这场争论，亦参见John Earman and Clark Glymour, “Einstein and Hilbert: Two Months in theHistory of General Relativity,”Archivefor History of Exact Sciences(1978):291; A. A. Logunov,M. A. Mestvirishvili and V. A. Petrov,“How Were the Hilbert-Einstein Equations Discovered?”Uspekhi Fizicheskikh Nauk174,no.6 (June 2004):663-678; Christopher Jon Bjerknes,AlbertEinstein: The Incorrigible Plagiarist，参见home.comcast.net/~xtxinc/AEIPBook.htm; John Stachel,“Anti-Einstein sentiment surfaces again,”Physics World, Apr. 2003,physicsweb.org/articles/review/16/4/2/1;Christopher Jon Bjerknes, “The Author ofAlbertEinstein: The Incorrigible PlagiaristResponds to John Stachel's PersonalAttack,” home.comcast.net/~xtxinc/Response.htm; Friedwardt Winterberg, “On‘Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute’,”Zeitschrift fuer Naturforschung A, (Oct., 2004):715-719,www.physics.unr.edu/faculty/winterberg/Hilbert-Einstein.pdf; David Rowe,“Einstein Meets Hilbert: At the Crossroads ofPhysics and Mathematics,”Physics in Perspective3, no.4 (Nov.2001):379.

[32]Reid, 142.虽然这一评论在其他二手文献中也有引用，但《爱因斯坦全集》的编者绍尔（他正在写一本关于希尔伯特著作）说，他从未找到它的原始出处。

[33]Einstein to David Hilbert, Dec. 20, 1915.

[34]Einstein to Arnold Sommerfeld, Dec. 9, 1915; Einstein toHeinrich Zangger, Nov. 26, 1915.

[35]关于广义相对论是否真的使所有形式的运动和所有参照系等价，这是一个有争议的问题。当然可以说，正在作非匀速相对运动的两个观察者都可以正当地将自己看成“静止”，而另一个受到引力场的作用。但这并不必然意味着（爱因斯坦有时这样想，有时不这样想），正在作非匀速相对运动的两个观察者总在物理上等价，特别是有旋转发生时。比如参见Norton 1995b,223–245; Janssen 2004, 8-12; Don Howard, “Point Coincidences and PointerCoincidences,” in Goenner et al. 1999, 463; Robert Rynasiewiecz,”“Kretschmann’s Analysis of Covariance and Relativity Principles,” in Groenneret al. 1999, 431; Dennis Diek, “AnotherLook at General Covariance and the Equivalence of Reference Frames,”Studies in the History and Philosophy ofModern Physics37 (Mar. 2006), 174.

[36]Fölsing, 374; Clark, 252.

[37]Einstein to Michele Besso, Dec. 10, 1915.

 

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